Physics Plus ICT

LCR Circuit: ac Analysis

Posted By: ppidelowar | Posted On: May 28, 2020 | Posted In: | No Comment

Q1. একটি LCR শ্রেণি বর্তনীতে পরিবর্তিত প্রবাহ প্রয়োগ করা হলে বর্তনীর প্রবাহমাত্রার রাশি নির্ণয় কর। বর্তনীর প্রতিরোধ ও অনুনাদিক কম্পাঙ্কের রাশিমালা বের কর। একটি LCR শ্রেণি বর্তনীকে গ্রাহক বর্তনী বা Tuned Circuit বলা হয় কেন?

নিচের চিত্রে একটি একটি ধারক (C), একটি আবেশক (L) এবং একটি রোধক (R) কে পরিবর্তী তড়িচ্চালক বলের উৎস E=E_osinωt এর সাথে যুক্ত করা হয়েছে।

কার্শফের দ্বিতীয় সূত্র হতে পাই,

$\bg_white \fn_jvn \large {V_L} + {V_R} + {V_C} = E\\L\frac{{dI}}{{dt}} + IR + \frac{q}{C} = {E_o}\sin \omega t ............. (1)$

পরিবর্তী তড়িচ্চালক বলের প্রভাবে বর্তনীতে দিক পরিবর্তী তড়িৎপ্রবাহ, I সৃষ্টি হবে এবং E এবং I এর মধ্যে একটি দশা পার্থক্য সৃষ্টি হবে। ধরি, এই দশা পার্থক্য φ।

$\bg_white \fn_jvn \large I = {I_o}\sin (\omega t - \phi )............. (2)$

$\bg_white \fn_jvn \large \frac{{dI}}{{dt}} = {I_o}\omega \cos (\omega t - \phi )..............(3)\\q = \int {Idt = \int {{I_o}\sin \left( {\omega t - \phi } \right)} } dt = - \frac{{{I_o}}}{\omega }\cos \left( {\omega t - \phi } \right)...............(4)$

এখন, I, dI/dt এবং q এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$\bg_white \fn_jvn \large \omega L{I_o}\cos \left( {\omega t - \phi } \right) + R{I_o}\sin \left( {\omega t - \phi } \right) - \frac{{{I_o}}}{{\omega C}}\cos \left( {\omega t - \phi } \right) = {E_o}\sin \omega t$

$\bg_white \fn_jvn \large {X_L}{I_o}\cos \left( {\omega t - \phi } \right) + R{I_o}\sin \left( {\omega t - \phi } \right) - {X_C}{I_o}\cos \left( {\omega t - \phi } \right) = {E_o}\sin \omega t$

কারণ,

$\bg_white \fn_jvn \large \left[ {{X_L} = \omega L,{X_C} = \frac{1}{{\omega C}}} \right]$

$\bg_white \fn_jvn \large {I_o}\left[ {R\sin \left( {\omega t - \phi } \right) + \left( {{X_L} - {X_C}} \right)\cos \left( {\omega t - \phi } \right)} \right] = {E_o}\sin \omega t ..........(5)$

উপেরর ইম্পিডেন্স গ্রাফ থেকে লেখা যায়,

$\bg_white \fn_jvn \large \sin \phi = \frac{{{X_L} - {X_C}}}{Z}$

$\bg_white \fn_jvn \large {X_L} - {X_C} = Z\sin \phi ............ (6)$

আবার,

$\bg_white \fn_jvn \large \cos \phi = \frac{R}{Z}$

$\bg_white \fn_jvn \large R = Z\cos \phi ............... (7)$

$\bg_white \fn_jvn \large \phi = {\tan ^{ - 1}}\frac{{{X_L} - {X_C}}}{R}........(8)$

(6) নং এবং (7) নং সমীকরণদ্বয়কে বর্গ করে যোগ করে পাই,

$\bg_white \fn_jvn \large {\left( {{X_L} - {X_C}} \right)^2} + {R^2} = {Z^2}{\sin ^2}\phi + {Z^2}{\cos ^2}\phi$

$\bg_white \fn_jvn \large {\left( {{X_L} - {X_C}} \right)^2} + {R^2} = {Z^2}\left( {{{\sin }^2}\phi + {{\cos }^2}\phi } \right)$

$\bg_white \fn_jvn \large {\left( {{X_L} - {X_C}} \right)^2} + {R^2} = {Z^2}$

$\bg_white \fn_jvn \large Z = \sqrt {{{\left( {{X_L} - {X_C}} \right)}^2} + {R^2}}..............(9)$

সমীকরণ (5) এ R এবং (X_L-X_C)এর মান বসিয়ে পাই,

$\bg_white \fn_jvn \large {I_o}\left[ {Zcos\phi \sin \left( {\omega t - \phi } \right) + Z\sin \phi \cos \left( {\omega t - \phi } \right)} \right] = {E_o}\sin \omega t$

$\bg_white \fn_jvn \large {I_o}Z\left[ {cos\phi \sin \left( {\omega t - \phi } \right) + \sin \phi \cos \left( {\omega t - \phi } \right)} \right] = {E_o}\sin \omega t$

$\bg_white \fn_jvn \large {I_o}Z\sin \left( {\omega t - \phi + \phi } \right) = {E_o}\sin \omega t$

$\bg_white \fn_jvn \large I_o={\frac{E_o{}}Z={\tfrac{E_{o}}{\sqrt{R^{2}+(X_{L}-X_{C})^{2}}}}}$ [সমীকরণ (9) ব্যবহার করে পাই]

(2) নং সমীকরণে I_o এর মান বসিয়ে পাই,

$\bg_white \fn_jvn \large I = \frac{{E_o}\sin \left( {\omega t - \phi } \right)}{\sqrt{R^{2}+(X_{L}-X_{C})^{2}}}...........(10)$

; যা যে কোনো মুহূর্তে তড়িৎপ্রবাহের সমীকরণ।

যেখানে দশাকোণ,

$\bg_white \fn_jvn \large \phi = {\tan ^{ - 1}}\frac{{{X_L} - {X_C}}}{R}$

এবং ইম্পিডেন্স (প্রতিঘাত),

$\bg_white \fn_jvn \large Z = \sqrt {{R^2} + {{\left( {{X_L} - {X_C}} \right)}^2}}$

সিরিজ LCR সার্কিটে রেজোনেন্স (অনুনাদ):

সিরিজ LCR সার্কিটে তড়িৎপ্রবাহমাত্রা সর্বোচ্চ হবে যদি, Z এর মান সর্বনিম্ন হয়।

$\bg_white \fn_jvn \large Z = \sqrt {{R^2} + {{\left( {{X_L} - {X_C}} \right)}^2}}$ এর মান সর্বনিম্ন হবে যদি,

$\bg_white \fn_jvn \large {X_L} = {X_C}$ হয়।

$\bg_white \fn_jvn \large \omega L = \frac{1}{{\omega C}}$

$\bg_white \fn_jvn \large {\omega ^2} = \frac{1}{{LC}}$

$\bg_white \fn_jvn \large \begin{gathered} \omega = \sqrt {\frac{1}{{LC}}} = \frac{1}{{\sqrt {LC} }} \\ 2\pi {f_o} = \frac{1}{{\sqrt {LC} }} \\ {f_o} = \frac{1}{{2\pi \sqrt {LC} }} \\ \end{gathered}$

এখানে f_oকে রেজোনেন্স ফ্রিকোয়েন্সি বা অনুনাদ কম্পাঙ্ক বলা হয়।

প্রযুক্ত পরিবর্তী emf এর ফ্রিকোয়েন্সি f_o এর সমান হলে বর্তনীতে তড়িৎপ্রবাহ সর্বোচ্চ হয়, বর্তনীর এই অবস্থাকে অনুনাদী অবস্থা এবং f_o কে অনুনাদ কম্পাঙ্ক বলে।

তিনটি ভিন্নমানের রোধের জন্য একটি স্পন্দনশীল সিরিজ LCR বর্তনীর কম্পাঙ্ক-বনাম-তড়িৎপ্রবাহ লেখচিত্র দেখানো হল।

যে কারণে সিরিজ LCR সার্কিটকে গ্রাহক বর্তনী বা Tuned Circuit বলা হয়ঃ প্রবাহের পথে ন্যূনতম বাধা সৃষ্টি করে এই অনুনাদী বর্তনী বহু কম্পাংকযুক্ত প্রবাহ থেকে বিশেষ যে কোনো একটি প্রবাহকে বেছে নিতে পারে অথবা গ্রহণ করতে পারে। এ ধরণের আচরণের এই বর্তনীকে গ্রাহক বর্তনী বলা হয়। বেতার যন্ত্রে এ জাতীয় বর্তনীর প্রয়োগ হয়। সিরিজ LCR সার্কিটকে টিউনড সার্কিটও বলা হয়।

Q2. একটি সমান্তরাল LCR বর্তনীতে পরিবর্তিত প্রবাহ প্রয়োগ করা হলে বর্তনীর প্রবাহমাত্রার রাশি নির্ণয় কর। বর্তনীর প্রতিরোধ ও অনুনাদিক কম্পাঙ্কের রাশিমালা বের কর।

ধরা যাক, একটি আবেশক L এবং ধারক C কে সমান্তরাল সমবায়ে সংযুক্ত করে রোধ R এর সাথে শ্রেণি সমবায়ে সংযুক্ত করা হয়েছে। নিচের চিত্রে এরুপ একটি LCR সমান্তরাল বর্তনী দেখান হল। বর্তনীতে তড়িচ্চালক বল E=E_osinωt প্রয়োগ করা হয়েছে ফলে বর্তনীতে দিক পরিবর্তী প্রবাহ I সৃষ্টি হবে।

বর্তনীতে L ও C সমান্তরালে সংযুক্ত থাকায় এদের তুল্য প্রতিরোধ (ইম্পিডেন্স) হলে,

$\bg_white \fn_jvn \large \frac{1}{{{Z_1}}} = \frac{1}{{{X_C}}} + \frac{1}{{{X_L}}} = \frac{1}{{\frac{1}{{j\omega C}}}} + \frac{1}{{j\omega L}}$ $\bg_white \fn_jvn \large \left[ {\because {X_L} = j\omega L,{X_C} = \frac{1}{{j\omega C}}} \right]$

$\bg_white \fn_jvn \large \frac{1}{{{Z_1}}} = j\omega C + \frac{1}{{j\omega L}} = \frac{{{j^2}{\omega ^2}LC + 1}}{{j\omega L}} = \frac{{1 - {\omega ^2}LC}}{{j\omega L}}$ $\bg_white \fn_jvn \large \left[ {\because {j^2} = - 1} \right]$

$\bg_white \fn_jvn \large {Z_1} = \frac{{j\omega L}}{{1 - {\omega ^2}LC}} .................(1)$

সুতরাং বর্তনীর মোট প্রতিরোধ,

$\bg_white \fn_jvn \large Z = R + {Z_1} = R + \frac{{j\omega L}}{{1 - {\omega ^2}LC}}$

$\bg_white \fn_jvn \large Z_{eff}=\sqrt{{{R^2}}+\left ( {\frac{{\omega L}}{{1 - {\omega ^2}LC}}} \right )^{2}}.............(2)$

এবং প্রবাহমাত্রা,

$\bg_white \fn_jvn \large I = \frac{E}{{{Z_{eff}}}} = \frac{{{E_o}\sin \omega t}}{\sqrt{\left ( {{R^2}+\frac{\omega ^{2}L^{2}}{\left (1-\omega ^{2} LC \right )^{2}}}\right )^{}}}$

যখন একটি নির্দিষ্ট কম্পাঙ্ক f_oতে

$\bg_white \fn_jvn \large {\omega ^2}LC = 1$ হয়, তখন প্রতিরোধ অসীম হয় ও প্রবাহমাত্রা সর্বনিম্ন হয়। এ নির্দিষ্ট কম্পাংককে অনুনাদী কম্পাঙ্ক বলে।

$\bg_white \fn_jvn \large {\omega ^2}LC = 1$

$\bg_white \fn_jvn \large \omega L = \frac{1}{{\omega C}}$

$\bg_white \fn_jvn \large {\omega ^2} = \frac{1}{{LC}}$

$\bg_white \fn_jvn \large \begin{gathered} \omega = \sqrt {\frac{1}{{LC}}} = \frac{1}{{\sqrt {LC} }} \\ 2\pi {f_o} = \frac{1}{{\sqrt {LC} }} \\ {f_o} = \frac{1}{{2\pi \sqrt {LC} }} \\ \end{gathered}{\color{Blue} }$

এখানে f_oকে রেজোনেন্স ফ্রিকোয়েন্সি বা অনুনাদ কম্পাঙ্ক বলা হয়।

তিনটি ভিন্নমানের রোধের জন্য একটি স্পন্দনশীল সমান্তরাল LCR বর্তনীর কম্পাঙ্ক-বনাম-তড়িৎপ্রবাহ লেখচিত্র দেখানো হল।

Share Tweet LinkedIn Like Email

LCR Circuit: ac Analysis

Leave a Reply Cancel reply