Physics Plus ICT

ভেক্টর যোগের সামান্তরিক সূত্র


Q1. ভেক্টর যোগের সামান্তরিক সূত্র বিবৃত ও ব্যাখ্যা কর।

উত্তরঃ বিবৃতিঃ সামান্তরিকের কোনো কৌণিক বিন্দু হতে অংকিত দুটি সন্নিহিত বাহুদ্বারা যদি একই বিন্দুতে ক্রিয়াশীল দুটি ভেক্টরের মান ও দিক নির্দেশ করা যায় তবে সামান্তরিকের ঐ কৌণিক বিন্দু হতে অংকিত কর্ণটি ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধির মান ও দিক নির্দেশ করে।

ব্যাখ্যাঃ মনে করি, O বিন্দুতে দুটি ভেক্টর P এবং Q একই সাথে পরস্পর α কোণে ক্রিয়াশীল। ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধি  হলে R এর মান ও দিক সামান্তরিক সূত্রের সাহায্যে নির্ণয় করা যায়।

P এবং Q ভেক্টরদ্বয়কে  OACB ত্রিভূজের দুটি সন্নিহিত বাহু  OA এবং OB দ্বারা যথাক্রমে  মানে ও দিকে নির্দেশ করা হল।  O বিন্দু হতে অংকিত সামান্তরিকের কর্ণ OC ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধির মান ও দিক নির্দেশ করে। অর্থাৎ,  OA+OB=OC বা,  P+Q=R

Q2. সামান্তরিক সূত্রের সাহায্যে দুটি ভেক্টরের লব্ধির মান ও দিক নির্ণয়ের সূত্র প্রতিপাদন কর।

উত্তরঃ মনে করি,  O বিন্দুতে দুটি ভেক্টর P এবং Q একই সাথে পরস্পর α কোণে ক্রিয়াশীল। ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধি R হলে R এর মান ও দিক সামান্তরিক সূত্রের সাহায্যে নির্ণয় করা যায়।

লব্ধির মান নির্ণয়ঃ

 C বিন্দু হতে OA রেখার বর্ধিতাংশের উপর  CD লম্ব টানি। অতএব,

{\color{Blue} \angle {\bf{BOA}} = \angle {\bf{CAD}} = {\bf{\alpha }}}

এখন ODC সমকোণী ত্রিভূজে OC অতিভূজ।

{\color{Blue} {\bf{O}}{{\bf{C}}^2} = {\bf{O}}{{\bf{D}}^2} + {\bf{C}}{{\bf{D}}^2}}

{\color{Blue} OC^2=(OA+AD)^2+CD^2}

{\color{Blue} R^2=(P+AD)^2+CD^2} ............. (1)

কিন্তু 

{\color{Blue} \frac{{{\bf{CD}}}}{{{\bf{AC}}}} = \sin {\bf{\alpha }}}

{\color{Blue} {\bf{CD}} = {\bf{AC}}\;\sin {\bf{\alpha }}} ........ (2)\;\left[ {{\bf{AC}} = {\bf{OB}} = {\bf{Q}}} \right]

{\color{Blue} \frac{{AD}}{{AC}} = \cos \alpha }

{\color{Blue} AD = AC\;\cos \alpha}

{\color{Blue} AD = Q\;\cos \alpha}........ (3)

(2) ও (3) হতে AD এবং CD এর মান (1) এ বসিয়ে পাই,

{\color{Blue} \begin{array}{l} {R^2} = {\left\{ {P + \left( {Q\;\cos \alpha } \right)} \right\}^2} + {\left( {Q\;\sin \alpha } \right)^2}\\ = {P^2} + 2PQ\;\cos \alpha + \;{Q^2}{\cos ^2}\alpha + {Q^2}{\sin ^2}\alpha \end{array}}{\color{Blue} = {P^2} + 2PQ\;\cos \alpha + \;{Q^2}\;\;\left[ {\;\left( {{{\cos }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha } \right) = 1} \right]}

{\color{Blue} \therefore \;R\; = \sqrt {{P^2} + \;{Q^2} + 2PQ\;\cos \alpha }}

লব্ধির দিক নির্ণয়ঃ

মনে করি ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধি  R ভেক্টর  P এর সাথে θ কোণ তৈরি করে।

আবার আমরা জানি,

\large {\color{Blue} \begin{array}{l} \tan \theta = \frac{{CD}}{{AD}}\\ \tan \theta = \frac{{CD}}{{OA + AD}}\; \end{array}}

\large {\color{Blue} \therefore \tan \theta = \frac{{Q\sin \alpha }}{{P + Q\;\cos \alpha }}\;\;}

মনে রাখার কৌশলঃ লব্ধি যে ভেক্টরের সাথে কোণ তৈরি করে তা নিচে থাকবে এবং ফ্রি থাকবে। অপরটির সাথে একবার cosθ  এবং আরএকবার sinθ

Leave a Reply

Your email address will not be published.