Physics Plus ICT

ভেক্টর যোগের সামান্তরিক সূত্র

Posted By: ppidelowar | Posted On: Mar 30, 2020 | Posted In: | No Comment

Q1. ভেক্টর যোগের সামান্তরিক সূত্র বিবৃত ও ব্যাখ্যা কর।

উত্তরঃ বিবৃতিঃ সামান্তরিকের কোনো কৌণিক বিন্দু হতে অংকিত দুটি সন্নিহিত বাহুদ্বারা যদি একই বিন্দুতে ক্রিয়াশীল দুটি ভেক্টরের মান ও দিক নির্দেশ করা যায় তবে সামান্তরিকের ঐ কৌণিক বিন্দু হতে অংকিত কর্ণটি ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধির মান ও দিক নির্দেশ করে।

ব্যাখ্যাঃ মনে করি, O বিন্দুতে দুটি ভেক্টর P এবং Q একই সাথে পরস্পর α কোণে ক্রিয়াশীল। ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধি হলে R এর মান ও দিক সামান্তরিক সূত্রের সাহায্যে নির্ণয় করা যায়।

P এবং Q ভেক্টরদ্বয়কে OACB ত্রিভূজের দুটি সন্নিহিত বাহু OA এবং OB দ্বারা যথাক্রমে মানে ও দিকে নির্দেশ করা হল। O বিন্দু হতে অংকিত সামান্তরিকের কর্ণ OC ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধির মান ও দিক নির্দেশ করে। অর্থাৎ, OA+OB=OC বা, P+Q=R

Q2. সামান্তরিক সূত্রের সাহায্যে দুটি ভেক্টরের লব্ধির মান ও দিক নির্ণয়ের সূত্র প্রতিপাদন কর।

উত্তরঃ মনে করি, O বিন্দুতে দুটি ভেক্টর P এবং Q একই সাথে পরস্পর α কোণে ক্রিয়াশীল। ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধি R হলে R এর মান ও দিক সামান্তরিক সূত্রের সাহায্যে নির্ণয় করা যায়।

লব্ধির মান নির্ণয়ঃ

C বিন্দু হতে OA রেখার বর্ধিতাংশের উপর CD লম্ব টানি। অতএব,

${\color{Blue} \angle {\bf{BOA}} = \angle {\bf{CAD}} = {\bf{\alpha }}}$

এখন ODC সমকোণী ত্রিভূজে OC অতিভূজ।

${\color{Blue} {\bf{O}}{{\bf{C}}^2} = {\bf{O}}{{\bf{D}}^2} + {\bf{C}}{{\bf{D}}^2}}$

${\color{Blue} OC^2=(OA+AD)^2+CD^2}$

${\color{Blue} R^2=(P+AD)^2+CD^2} ............. (1)$

কিন্তু

${\color{Blue} \frac{{{\bf{CD}}}}{{{\bf{AC}}}} = \sin {\bf{\alpha }}}$

${\color{Blue} {\bf{CD}} = {\bf{AC}}\;\sin {\bf{\alpha }}} ........ (2)\;\left[ {{\bf{AC}} = {\bf{OB}} = {\bf{Q}}} \right]$

${\color{Blue} \frac{{AD}}{{AC}} = \cos \alpha }$

${\color{Blue} AD = AC\;\cos \alpha}$

${\color{Blue} AD = Q\;\cos \alpha}........ (3)$

(2) ও (3) হতে AD এবং CD এর মান (1) এ বসিয়ে পাই,

${\color{Blue} \begin{array}{l} {R^2} = {\left\{ {P + \left( {Q\;\cos \alpha } \right)} \right\}^2} + {\left( {Q\;\sin \alpha } \right)^2}\\ = {P^2} + 2PQ\;\cos \alpha + \;{Q^2}{\cos ^2}\alpha + {Q^2}{\sin ^2}\alpha \end{array}}$ ${\color{Blue} = {P^2} + 2PQ\;\cos \alpha + \;{Q^2}\;\;\left[ {\;\left( {{{\cos }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha } \right) = 1} \right]}$